Ryszard Kilvington: Nieskończoność i geometria (Podkoński Robert) (4,0)


Pozycja z dziedziny filozofii i historii nauki. Jakkolwiek tematem przewodnim jest myśl czternastowiecznego oksfordzkiego filozofa, Ryszarda Kilvingtona, pokazuje także, jak na przestrzeni dziejów myśliciele podchodzili do zagadnień ciągłości i nieskończoności, oraz do użycia matematyki, zwłaszcza geometrii, jako aparatu do opisu i objaśniania świata.


Rozważania Arystotelesa (IV w. p.n.e.) nad strukturą rzeczywistości doprowadziły go do wniosku, że kontinuum (czy też "rozciągłość") musi być nieskończenie podzielna, co implikowało odrzucenie starożytnych koncepcji atomistycznych (tak, już wtedy niektórzy myśliciele doszli do wniosku, że muszą istnieć najmniejsze cząstki niepodzielne). Filozof dopuszczał jednak, że w praktyce nieskończoność może być jedynie potencjalna. Przy okazji niejako rozróżnił nieskończoność ze względu "na krańce" od nieskończoności ze względu "na podział".

Arystotelowska filozofia przyrody zdominowała myślenie uczonych na zdumiewająco długi okres piętnastu stuleci. Nieśmiałych prób kwestionowania jego poglądów podjął się w XIV wieku Mikołaj z Autrecourt, nie zaproponował on jednak całościowej alternatywy. Nawet tak zasłużeni myśliciele jak Ockham nie aspirowali do obalenia systemu Stagiryty, a jedynie do objaśniania jego "prawdziwych intencji". I dopiero XIV wiek na oksfordzkim uniwersytecie przyniósł alternatywne koncepcje atomistyczne, które z miejsca wywołały gorący, trwający przez kilkadziesiąt lat spór.

Zapoczątkował go niejaki Henryk z Harclay (1270-1317), zwolennik atomizmu, chociaż nie tyle wymyślił jakąś nowatorską teorię, co pozbierał różne, wcześniej już w średniowieczu znane koncepcje, i połączył je w logicznie spójną całość. Czerpał inspirację między innymi z pomysłów Roberta Grosseteste'a (1175-1253), biskupa i jednego z ojców oksfordzkiej myśli naukowej, który stworzył oryginalną koncepcję (nie tyle może wbrew Arystotelesowi, co raczej go zupełnie ignorując), że świat materialny powstał z rozprzestrzeniającego się zgodnie z zasadami optyki punktu światła pierwotnego (lux). Jakkolwiek pomysł był dość dziwaczny, to walnie przyczynił się do uznania przez średniowiecznych filozofów matematyki za odpowiednie narzędzie do opisu rzeczywistości. Grosseteste snuł też rozważania o nieskończoności i doszedł do wniosku, że nieskończoności są większe i mniejsze (bo jakkolwiek każdy odcinek składa się z nieskończonej liczby punktów, to przecież w dłuższym odcinku będzie ich jednak więcej, niż w krótszym). Właśnie ta ostatnia koncepcja doprowadziła Henricusa de Harclay do wniosku, że atomy muszą istnieć. Ten oksfordzki myśliciel nie postępował całkiem fair, bo wspomagał swoje wywody, powołując się na boską wszechwiedzę. Niemniej wywołał falę polemik i prób wykazania błędu w jego teorii, czy to na gruncie logiki i semantyki, czy też geometrii. Podejmowali je Wilhelm z Alnwick, Wilhelm Ockham i Jan Duns Szkot.

Wilhelm Ockham dowodził, że istnienie nieskończenie małych wielkości niepodzielnych nie jest możliwe, gdyż prowadziłoby do sprzeczności z założeniem, że od każdej wielkości istnieje wielkość mniejsza (wydaje się to oczywiste przy tych założeniach, ale nie do końca zrozumiałem, dlaczego przyjął właśnie takie). Dalej Ockham przekonywał, że nieprawidłowo odczytywano dotąd intencje Arystotelesa co do kwestii nieskończoności aktualnych i potencjalnych.

Ricardus de Kilvington wyróżniał się na tle innych myślicieli epoki stopniem wykorzystania matematyki w swoich wywodach. Mimo że posługiwał się rozmaitymi pomysłowymi konstrukcjami geometrycznymi, jak nieskończona linia spiralna nawijana na walec[1], kąty styczności versus kąty prostoliniowe[2] i inne, zanegował przydatność tego działu matematyki do objaśniania rzeczywistości na gruncie filozofii przyrody. Jako pierwszy za to zastosował metody arytmetyczne, a konkretnie rachunek proporcji. Również jako pierwszy zanegował koncepcję geometrycznej struktury rzeczywistości, autorstwa Roberta Grosseteste.

Jednym z większych osiągnięć Kilvingtona było rozstrzygnięcie problemu, z którym nie uporał się wcześniej Ockham. Obaj przyjmowali mianowicie, że dowolna wielkość ciągła może być podzielona na nieskończenie wiele proporcjonalnych części, stanowiących "aktualną" nieskończoność w świecie fizycznym. Skoro jednak stosujemy to założenie do jakiegoś odcinka, to musimy je zastosować także i do jego połowy, a czyż nie wynika z tego, że część jest równa całości? Bohater książki rozprawił się z tą sprzecznością w nowatorski sposób, wprowadzając rozróżnienie na nieskończoność "pod względem wymiarów" (infinitum quantitative) i "pod względem ilości" (infinitum discretive). Innymi słowy, uznał wszystkie zbiory nieskończone za równoliczne, niezależnie od relacji zawierania, zachodzących między nimi (współcześnie raczej przyjmuje się, że ℵo < ℭ, rozróżniając nieskończoności ciągłe od dyskretnych). Oba wymienione rodzaje myśliciel zaliczył do nieskończoności "pod pewnym względem" (secundum quid), które odróżnił od nieskończoności "po prostu" (simpliciter), dostępnych jedynie Bogu (hm, a może tu właśnie należy szukać analogii do przeliczalnych i nieprzeliczalnych zbiorów nieskończonych?)

Ostatni rozdział pracy przedstawia poglądy innych, współczesnych Kilvingtonowi myślicieli na omawiany temat. Należy do nich Adam Wodeham (1298–1358), wierny uczeń Okhama i oczywiście przeciwnik atomizmu. Kolejny to Tomasz Bradwarine (1290–1349), który najprawdopodobniej czerpał z dorobku Kilvingtona i był przy tym stanowczym krytykiem jego rozumienia nieskończoności. Stosował "klasyczne" podejście do tez z zakresu filozofii przyrody, wykorzystujące dowody geometryczne. Choć jego prace nie były tak oryginalne jak Kilvingtona, to biły je na głowę pod względem klarowności wywodu. To zapewniło im popularność wśród następnych pokoleń uczonych, do tego wręcz stopnia, że jeszcze niedawno sądzono, że to nie Kilvington, a właśnie Bradwarine był prekursorem stosowania rachunku proporcji w filozofii przyrody. Koncepcje Ricardusa Kilvingtona nie pozostały bez echa także i po drugiej stronie Kanału. Wśród filozofów paryskich, którzy z nich czerpią, niekoniecznie bezpośrednio, wymienić można Jana Burydana i jego zainteresowanie własnościami nieskończonej linii spiralnej.

Podsumowując, Ryszard Kilvington był bez wątpienia oryginalnym, nietuzinkowym myślicielem. W przeciwieństwie do większości swoich kolegów po fachu, potrafił wznieść się w rozumowaniu na poziom matematycznej abstrakcji, z jednej strony uwalniając się z więzów narzucanych przez codzienne obserwacje świata fizycznego, z drugiej nie ulegając pokusie przydawania matematycznym rozważaniom o nieskończoności walorów metafizycznych czy mistycznych. Niestety, na długie wieki został właściwie zapomniany, a niektóre z jego pomysłów przypisywano innym autorom. Do tego stanu rzeczy walnie przyczynił się największy przeciwnik Kilvingtona, Tomasz Bradwarine, który w swoich pracach nie tylko poddawał krytyce jego wnioski, ale wręcz je ośmieszał, sprowadzając do absurdu. Nie bez winy był też sam nasz bohater, który nie chciał, bądź nie potrafił, w sposób systematyczny i klarowny przelać na papier swoich wywodów, a raczej przedstawiał je w formie łamigłówek i "sofizmatów"; tak też były one najczęściej traktowane.



Książkę tę wziąłem w ręce właściwie przypadkiem. Skuszony okładką i tematem, nie zaglądając do środka przyjąłem, że to pozycja popularnonaukowa. Okazała się monografią, może nazbyt w pewnych punktach szczegółową, jak na moje potrzeby, wciąż jednak interesującą. Matematyki, także teorii mnogości, liznąłem nieco w procesie swojej edukacji, ale matematykiem nie jestem, tym bardziej filozofem. Mimo to zaciekawiła mnie nie tyle postać samego Kilvingtona, co szerzej zarysowana historia zmagań intelektualnych z problematyką nieskończoności i ciągłości, jak też pomysłowe konstrukty geometryczne i logiczne, po które sięgali filozofowie w celu dowiedzenia bądź obalenia pewnych tez. Raczej się nad tym wcześniej nie zastanawiałem, dlatego pewnym zaskoczeniem było też dla mnie, że już w starożytności pojawiały się koncepcje atomistycznej struktury rzeczywistości.

Praca z mojego punktu widzenia ma pewne mankamenty. Autor potrafił mnie zaciekawić, jednak bywał też nazbyt hermetyczny. Nie chodzi mi o aparat matematyczny, bo ten jest raczej prosty. Odczuwałem jednak niedostatki w dokładniejszym objaśnieniu pewnych ciągów przyczynowo-skutkowych i wnioskowań w niektórych dowodach i wywodach dawnych filozofów. Część była oczywista, część zrozumiałem po dokładniejszym przemyśleniu. Dla niektórych przydałby się jednak laikowi szerszy komentarz. Pewną trudnością była dla mnie duża liczba łacińskich terminów i cytatów, czasami tłumaczonych, a czasami nie. Odniosłem także wrażenie pewnego chaosu, np. zapowiedziane na wstępie zaskakujące wnioski Kilvingtona zostały jasno wyartykułowane dopiero w rozdziale o innych, współczesnych mu autorach.

Niematerialne wydanie, sprzedawane jako ebook, to w rzeczywistości żaden ebook, tylko zwykły plik pdf przeznaczony do wydruku. Lekturę na czytniku utrudniał mi więc brak spisu treści, podlinkowanych przypisów i zbyt duży rozmiar strony.



P r z y p i s y

[1] Linea girativa – nieskończona linia spiralna, oryginalny pomysł Kilvingtona. Walec owijamy linią spiralną w taki sposób, by pierwszy zwój kończył się w połowie wysokości walca, następny w połowie pozostałej części (czyli w ¾ wysokości) i tak dalej ad infinitum. Gdy przyjmiemy za Arystotelesem (którego tezy traktowano dość dogmatycznie), że każda wielkość ciągła (tu: wysokość walca, potem połowa tej wysokości, potem połowa połowy itd.) może być dalej podzielona na pół, oczywistym się staje, że nasza spirala będzie miała "aktualnie" nieskończoną długość.

[2] Okrąg, półprosta styczna i półprosta prostopadła do średnicy przechodzącej przez punkt styczności. Jak ma się kąt prostoliniowy między obiema półprostymi do "kąta styczności" między styczną a cięciwą? Czy zawsze ten drugi jest mniejszy od pierwszego?